Джереми Пол Свифт родился 19 октября 1960 года в городе Стоктон-он-Тис, Великобритания. Его родители работали преподавателями музыка. Не удивительно, что со временем Джереми стал известен не только как актер, но и как композитор.
В 1981 году получил актерское образование, пройдя трехлетнее обучение в Гилфордской школе актерского мастерства. В 1983 году он дебютировал в фильме «Форды на воде», а затем снялся в сериале «Чисто английское убийство».
Известность получил благодаря фильмам «Оливер Твист», «Духи Рождества», «Удивительная легкость», «Мальчик А», а также сериалам «Ярмарка тщеславия», «Война Фойла», «Десятое королевство», «Аббатство Даунтон» и «Быть человеком.
Из последних работ актера можно отметить фильмы «Отпетый мачо», «Восхождение Юпитер», «Мэри Поппинс возвращается» и сериалы «Страйк», «Лунный камень», «Сокровище нации», «Дарреллы» и другие.