Ахмед Догаев родился 18 августа 1965 года в селе Белоречье, Чеченская Республика. В 1991 году окончил Чечено-Ингушский государственный педагогический институт по специальности «Физическая культура». Позднее получил дополнительное образование в Чеченском государственном педагогическом университете.
С 2013 года, на протяжении трех лет Ахмед Шамханович возглавлял представительство главы Чеченской Республики в Южном федеральном округе в городе Волгоград.
В 2015 году политик был избран председателем совета представителей главы Чеченской Республики в субъектах Российской Федерации.
На выборах 18 сентября 2016 года Догаев Ахмед Шамханович избран Депутатом Государственной Думы VII созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого Всероссийской политической партией «Единая Россия». Входит в состав комитета по делам национальностей. Член Всероссийской Политической Партии «Единая Россия».
С 2016 по 2019 год, в течение исполнения полномочий депутата Государственной Думы VII созыва, Ахмед Догаев выступил соавтором 17 законодательных инициатив и поправок к проектам федеральных законов.
Женат. Воспитывает четверых детей.